Zamiast mnożenia i dzielenia czyli manipulacje jednocyfrowe

Mnożenie jest w słowniku języka polskiego PWN zdefiniowane jako wyznaczanie iloczynu, a iloczyn jako… wynik mnożenia. Typowe błędne koło. W encyklopedii PWN jest nieco lepiej i z przykładem: „mnożenie a·b polega na a-krotnym dodaniu do siebie liczby b, np. 3·8=8+8+8”. Ze względu na przemienność działania mogłoby też być dodawanie b liczb a, czyli 8·3=3+3+3+3+3+3+3+3. Pozostając przy matematyce elementarnej i liczbach naturalnych, poprawne byłoby także nazwanie mnożenia zwielokrotnieniem liczby.

W związku z takim określeniem nasuwa się osobliwe pytanie: czy jedynym sposobem zwiększenia a-krotnie liczby b lub b-krotnie liczby a jest mnożenie a·b? Jako odmienny sposób pomijamy potęgowanie, bo w gruncie rzeczy to także jest mnożenie – wielokrotne tej samej liczby przez nią samą. Otóż w matematyce rekreacyjnej jest sposób prowadzący do niektórych iloczynów w wyniku „działania” prostszego niż mnożenie. Jest nim dopisywanie cyfry – na początku, w środku lub na końcu zwielokrotnianej liczby, czyli mnożnej.

Zaczniemy od końca. Po dopisaniu na końcu liczby a cyfry 0≤c≤9 powstaje liczba 10a+c. Aby była ona iloczynem, musi zachodzić zależność (10a+c)/a=b, czyli b-c/a=10. Dla jednocyfrowych a wystarczy, aby a było dzielnikiem c. Wtedy, dopisując odpowiednią cyfrę c do a, można tworzyć wielokrotności a – najwięcej (10) dla a=1, ale tylko po dwie dla każdego c>4: 50, 55; 60, 66; 70, 77; 80, 88; 90, 99; w sumie dla różnych a wielokrotności są 32. Gdy liczba a jest przynajmniej 2-cyfrowa, c/a staje się ułamkiem właściwym, zatem równanie b-c/a=10 ma rozwiązanie w liczbach naturalnych tylko dla c=0. Dopisywaną na końcu cyfrą może być więc wówczas wyłącznie zero, co odpowiada mnożeniu przez 10 i stanowi wariant trywialny.

Przenosimy się na początek. Dopisanie na początku m-cyfrowej liczby a cyfry 1≤c≤9 oznacza utworzenie liczby (m+1)-cyfrowej większej o 10^mc. Aby utworzona w ten sposób liczba 10^mc+a była wielokrotnością a, 10^mc musi być podzielne przez a. W grę wchodzą więc tylko m-cyfrowe dzielniki 10^mc. Dla m=1 dzielnikiem jest każda liczba 1≤a≤9, a wielokrotności można utworzyć 40: 11, 12, 15, 21, 22, 24, … , 91, 92, 93, 95, 96, 99.

Dla m=2 a wzrasta o 10²c, zatem w rolę mnożnej mogą wcielić się wszystkie 2-cyfrowe dzielniki 100c, czyli 22 liczby a (10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90); natomiast do roli iloczynów pretenduje 59 liczb: 110, 120, 125, 150, 210, 220, … , 936, 945, 950, 960, 975, 990.

Gdy m=3, mnożnych a, czyli 3-cyfrowych dzielników 10³c, jest 28, zaś możliwych iloczynów 85. Dla m=4 liczba mnożnych wzrasta do 33, a iloczynów do 93.

Przy m=4 wyraźnie widoczna jest zwodnicza „kanciastość” kilku mnożnych, dla których istnienie odpowiedniego mnożnika i 5-cyfrowego iloczynu może w pierwszej chwili wydawać się niemożliwe. Tak jest na przykład, gdy chodzi o dopisanie takiej cyfry przed 4375, aby powstała wielokrotność tej liczby, choć znalezienie właściwej cyfry (bez metody prób i błędów lub korzystania z kalkulatora) nie nastręcza trudności.

Przy liczbach 2-cyfrowych pojawia się możliwość „mnożenia”, polegająca na tworzeniu 3-cyfrowego iloczynu przez wstawianie cyfry w środek mnożnej. Kryptarytmetyczny zapis działania (duże litery zastępują cyfry w liczbach, niekoniecznie różne) wygląda więc tak: AB·x=ACB. Odpowiada mu zapis algebraiczny dzielenia:

Jest to równanie diofantyczne, czyli litery zastępują liczby naturalne, przy czym A, B i C są liczbami jednocyfrowymi oraz A>0. Szukanie rozwiązań tego równania polega na przykład na podstawianiu cyfr pod A i B oraz dobieraniu takiego 0≤C≤9, aby wynik dzielenia był liczbą całkowitą. W poniższej tabeli przedstawione są rezultaty takiego procesu.

Z tabeli wynika, że jest 45 liczb 2-cyfrowych (mnożnych), z których każdą można zmienić w jej wielokrotność (iloczyn), uzupełniając ją w środku odpowiednią cyfrą. Większość zmian (44) odpowiada mnożeniu przez 11. Unikalnymi mnożnikami (innymi niż 11), dającymi nietrywialny iloczyn (niezakończony zerem), są: 6 (18·6=108), 7 (15·7=105) i 16 (12·16=192).

Zwielokrotnianie liczb dłuższych niż 2-cyfrowe przez uzupełnianie cyfrą ich „wnętrza” jest nieco bardziej skomplikowane. Analizowanie tego procesu wydaje się prostsze po jego odwróceniu, czyli zastąpieniu wstawiania cyfry jej usuwaniem, a więc jakby po zmianie mnożenia w dzielenie.

* * *

Krótko i ogólnie problem można sformułować tak: które liczby po usunięciu z nich jednej cyfry stają się własnymi dzielnikami? Z dotychczasowych rozważań wynika, że taką własność mają:

– każda liczba zakończona zerem, które jest z niej usuwane;

– każda m-cyfrowa liczba Cx (cyfra C na początku (m–1)-cyfrowej liczby x), jeśli x jest dzielnikiem 10^m–1C (usuwana jest początkowa cyfra C);

– 23 liczby 2-cyfrowe (z zakresu od 11 do 99) i 44 3-cyfrowe (z zakresu od 105 do 891) niezakończone zerem, z których usuwana jest druga cyfra.

Do „rozgryzienia” pozostają liczby L – dłuższe niż 3-cyfrowe, które stają się swoimi dzielnikami po usunięciu jednej cyfry z ich wnętrza, a więc nie pierwszej i nie ostatniej. Temat można uznać za olimpijski, bo związane z nim zadania pojawiały się kilkakrotnie na olimpiadach matematycznych.

Na początek warto zauważyć, że jeśli liczba L kończy się zerem, to po usunięciu tego zera pozostaje liczbą L, na przykład 16250/1250=13 i 1625/125=13, czyli dzielna i uboższy od niej w tym przypadku o szóstkę dzielnik maleją 10-krotnie, a iloraz pozostaje bez zmiany. Sens ma zatem ograniczenie poszukiwań liczb L do niekończących się zerem, które nazwiemy pierwotnymi (L_p).

Liczbę L_p, z której usuwana jest cyfra x, można zapisać w postaci: a·10^m+1+x·10^m+c, gdzie a i c są liczbami naturalnymi, stanowiącymi części liczby L_p rozdzielone przez x: a jest liczbą z lewej strony x, c jest m-cyfrową liczbą na prawo od x. Po usunięciu x pozostaje liczba a·10^m+c. Wynik dzielenia L_p przez L_p bez x powinien być liczbą całkowitą k:

Jeśli przyjmiemy, że

to wiedząc, że c<10^m, możemy określić zakres p: –9/a≤p≤9/a, a skoro p jest liczbą całkowitą, zaś x nie jest pierwszą cyfrą L, więc 1≤a≤9 oraz –8≤p=k–10≤9, czyli 2≤k≤19.

Mnożąc stronami przez a·10^m+c wyrażenie

można po przekształceniach sprowadzić je do postaci:

Iloczyn po prawej stronie musi się kończyć zerem, ale liczba c jako końcówka L_p zerem się nie kończy, więc w jej rozkładzie na czynniki pierwsze albo nie ma dwójki, albo piątki, a jedna z tych cyfr występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze sumy (p+9). Teraz wyraźnie widać, że wartość L_p jest ograniczona – największa dla maksymalnego możliwego m. Takie m_max wystąpi dla największego (p+9), zawierającego w rozkładzie na czynniki pierwsze dwójkę w najwyższej potędze, a więc dla p=7 (p+9=16=2⁴). Ponieważ x–ap powinno być dodatnie, więc a=1; i dalej: x=8 lub 9, m=5. Jeśli zatem x=8, to L_p=180625. Dla x=9 L kończy się zerem (191250), czyli nie jest L_p. Łatwo sprawdzić, że dla innych możliwych wartości p wykładnik m będzie mniejszy, a więc mniejsze będą także L_p.

Wszystkich L_p (dłuższych niż 3-cyfrowe) jest 28:

Jak widać sporo je łączy. Po pierwsze – końcowa piątka oraz dwie różne 2-cyfrowe końcówki – 25 i 75. Po drugie – prawie każda jest podzielna przez 225 (wyjątki są dwa – które?). I wreszcie po trzecie, najistotniejsze – ponieważ 1≤a≤9, więc każda zmienia się w swój dzielnik po usunięciu drugiej cyfry (choć nie zawsze tylko w taki sposób; proszę znaleźć rodzynek, który staje się własnym dzielnikiem także po usunięciu pierwszej cyfry).

* * *

Zagadnienie bardzo podobne do omawianego było tematem zadania na jednej z olimpiad matematycznych. Należało udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej d istnieje taka jej wielokrotność, która po wykreśleniu z niej jednej cyfry – innej niż zero – pozostaje liczbą podzielną przez d. Jeden z licealistów uczestniczących w olimpiadzie wymyślił sprytny (inny niż przedstawiony przez organizatorów) sposób rozwiązania. Zaczął od liczby n_k=10^kd–d, gdzie d jest liczbą r-cyfrową i k≥r. Wówczas liczba n_k składa się z trzech części: najpierw jest liczba d–1, za nią k–r dziewiątek i na końcu liczba 10^r–d. Dla k≥r liczbę n_k można otrzymać z liczby n_k+1, wykreślając z niej jedną z centralnych dziewiątek, a obie te liczby są podzielne przez d.

Inne zadanie olimpijskie polegało na znalezieniu wszystkich liczb 5-cyfrowych n podzielnych przez liczby 4-cyfrowe powstałe po usunięciu z n środkowej cyfry. Tu rozwiązywanie nie wydaje się konieczne, wynika bowiem z tego, co zostało wcześniej napisane – chodzi o liczby zakończone trzema zerami, czyli 5-cyfrowe wielokrotności tysiąca.

Zadania

1. Po usunięciu cyfry z liczby N₁ powstaje liczba N₂, która jest dzielnikiem N₁. Po usunięciu cyfry z N₂ powstaje liczba N₃, która jest dzielnikiem N₂. Po usunięciu cyfry z N₃ powstaje liczba N₄, która jest dzielnikiem N₃. Po usunięciu cyfry z N₄ powstaje liczba N₅, będąca dzielnikiem N₄. Proszę podać przykład takiego ciągu liczb N₁– N₂– N₃– N₄– N₅, jeśli w liczbie N₁ nie występuje zero.

2. 9-cyfrowa liczba X złożona z różnych cyfr ma następującą własność: jest tylko jeden sposób usunięcia z niej siedmiu cyfr – taki, po którym pozostaje 2-cyfrowa liczba pierwsza. Proszę podać przykład takiej liczby X.

3. Usuwając w dowolny sposób jedną lub więcej cyfr z pewnej liczby, nie sposób utworzyć wielokrotności jedenastu. Jaka jest największa liczba o takiej własności?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lipca 2024 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 07/24. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Projekt Tatry. Jak ocalić ludzi, naturę oraz przyszłość Szymona Ziobrowskiego i Macieja Kozłowskiego ufundowaną przez wydawnictwo Znak. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru majowego

1. Współmat w 2 ruchach (rys. 1) z wykorzystaniem reguły kirke (zbita bierka „odżywa” na polu startowym); zaczynają czarne:

1. Kh7xh8 (zbity goniec pojawia się na c1) Gc1xh6 (zbity pionek odżywa na h7)

2. Gb2-c1 Gh6xg7X.

2. Współmat 1½ (rys. 2) z regułą mutacyjną (po biciu bierka bijąca zmienia się w bitą, nie zmieniając koloru); zaczynają wyjątkowo białe:

1. f4xe5 (pionek zmienia się w białego gońca) Sc6-e7+ (szach białemu królowi)

2. d6xe7X (pionek zmienia się w białego skoczka, który matuje czarnego króla).

3. Współmat w 2 ruchach z wykorzystaniem diabła (rys. 3), dysponującego ruchami gońca i skoczka równocześnie:

1. Wg8-g4 Dih8-b2

2. Db5-g5 Dib2-d3.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Eda Yonga Niezwykłe zmysły. Jak zwierzęta odbierają świat, ufundowaną przez Wydawnictwo Uniwersytetu Jaagiellońskiego, otrzymują: Bartłomiej Bartkowski z Głogowa, Dariusz Błotko z Lędzin, Marcin Karczmarczyk z Piaseczna, Roman Kusyk z Warszawy i Szymon Różański z Chełmna.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.