Suma za sumą czyli jazda figurowa trójkątna

Skoro liczba jednakowych kwadratów, na które można podzielić kwadrat, jest liczbą kwadratową, zwaną krótko kwadratem, to liczba identycznych trójkątów równobocznych, na które można podzielić trójkąt równoboczny powinna per analogiam nosić nazwę liczby trójkątnej. A tymczasem, o dziwo, także jest kwadratowa – wystarczy policzyć małe trójkąty w coraz większych (1-, 2-, 3-kolorowych itd.) na rys. 1a. Natomiast zgodnie z nomenklaturą liczbę trójkątną (w opisie – LT, we wzorach – T_n) tworzą tylko te trójkąty w podziale, które ze sobą nie sąsiadują, czyli nie mają wspólnego boku. I, co ciekawe, w jednym konkretnym podziale ujawniają się równocześnie dwie kolejne LT, zależnie od tego, którą grupę stroniących od siebie trójkątów wybierzemy – białą czy szarą (10 i 15 na rys. 1b). Tym samym od razu widoczna jest jedna z wielu ciekawych własności tych liczb: suma każdych dwu kolejnych LT jest kwadratem indeksu dolnego, czyli kolejności w ciągu, większej z nich: T_n-1+T_n=n².

Tradycyjnie LT definiuje się jako liczbę jednakowych kół lub kul, wypełniających szczelnie trójkąt równoboczny. Spektakularnym przykładem jest trójkątny układ 15 czerwonych bil rozbijany na początku snookerowego frejmu (rys. 2). Układ ten praktycznie obrazuje kwintet najmniejszych LT – od pierwszej do piątej. O dalszy ciąg nietrudno, wiedząc, że każda n-ta LT jest sumą wszystkich kolejnych liczb naturalnych od 1 do n; 14 początkowych LT znajduje się w powyższej tabeli.

Ogólnie LT określone są wzorem T_n=n(n+1)/2. Z wyprowadzeniem tego wzoru wiąże się anegdota o 8-letnim Gaussie i jego nauczycielu, niejakim Büttnerze, znanym z zadawania podopiecznym żmudnych ćwiczeń rachunkowych, który pewnego razu polecił uczniom obliczyć sumę wszystkich liczb od 1 do 100. Przyszły „książę matematyków” uporał się z tym pierwszy nadspodziewanie szybko. Zauważył bowiem, że jeśli ciąg liczb od 1 do 100 „zgiąć” na pół i połówki nałożyć na siebie, to „połączą się” 1 i 100, 2 i 99, 3 i 98 itd., czyli każda para da sumę 101, zaś wszystkich takich par, a więc także sum, będzie 50 – zatem suma liczb od 1 do 100 wynosi 101×50=5050.

* * *

LT rozpoczynają „jazdę figurową” liczb, a konkretnie chodzi o „jazdę wielokątną centryczną” – choć sama LT wyznaczona przez taki układ kul, jak na rys. 2, centryczna nie jest (byłaby, gdyby w centrum układu znajdowała się jedna kula). Jazda ta nie ma końca, bo nic nie ogranicza możliwości centrycznego wypełniania jednakowymi kołami dowolnych wielokątów foremnych. Wypełnianie jest jednak eleganckie, czyli ścisłe (każde brzegowe koło styka się przynajmniej z dwoma innymi) tylko w przypadku wielokątów foremnych, pokrywających bez przerw płaszczyznę, a więc trójkątów, kwadratów i sześciokątów. Pięciokąty są zatem pierwszymi, w których narożne koła trzymają się na jednym złączu (rys. 3), a wszystkie tworzą coraz większe pięciokątne układy – liczba kół odpowiada ciągowi centrycznych liczb pięciokątnych P_n: 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, … . Ogólnie P_n=5[n(n-1)/2]+1. Ten wzór jest przykładem „nadzoru” LT nad każdym rodzajem centrycznych liczb K-kątnych (K≥3), bowiem K_n=K×T_n-1+1.

* * *

Wartości i wersje geometryczne LT znane były już pitagorejczykom w V wieku p.n.e. Struktura oznaczająca liczbę 10 – jak na rys. 2, ale bez dolnego rzędu i z punktami zamiast kół – stanowiła nawet ich święty symbol doskonałości zwany tetraktysem. Nic dziwnego, że ówcześni matematycy wnikliwie zajmowali się tymi liczbami – głównie w kontekście geometrycznym, a z dzieł Plutarcha wynika, że znali wiele związanych z nimi zależności, choć była to wiedza podszyta mistycyzmem, astrologią i numerologią.

Pierwowzór stanowiły jednak liczby zwane dziś pronicznymi lub prostokątnymi, będące iloczynami dwóch kolejnych liczb naturalnych – n(n+1), czyli tworzące ciąg 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, … . Odpowiadały im prostokątne punktowe „szyki bojowe” z liczbami punktów w kolumnach i w rzędach różniącymi się o 1 (rys. 4). Dopiero połowa każdego takiego szyku, zgodnie z podziałem oznaczonym linią przerywaną, dawała LT i jej wzór T_n=n(n+1)/2.

Uczniowie i kontynuatorzy szkoły pitagorejskiej wiedzieli więc, że dwie takie same liczby trójkątne dają liczbę proniczną, a dwie kolejne sumują się do kwadratu. Ale znali też inne zależności. Plutarch pisze, że nie był im obcy test, pozwalający szybko sprawdzić, czy dana liczba jest LT. Wystarczy pomnożyć ją przez 8. Jeśli wynik jest o 1 mniejszy od kwadratu, wtedy i tylko wtedy mamy do czynienia z LT, czyli 8T_n+1=x². Nikomachos z Gerazy, neopitagorejski matematyk z II wieku, który lubował się w ciekawych relacjach między liczbami, zauważył, że jeśli połączyć ciągi liczb pronicznych i kwadratów w formie „przeplatanki” (rys. 5; żółte – proniczne, niebieskie – kwadraty), to sumy sąsiadek dadzą ciąg LT (różowy). Przesunięty ciąg LT pojawia się także jako ciąg różnic między kolejnymi wyrazami ciągu LT i ciągu liczb nieparzystych – jak w poniższej tabeli:

* * *

Właściwie niemal cała historia LT sprowadza się do odkrywania mniej lub bardziej oczywistych zależności między tymi liczbami oraz między nimi i innymi rodzajami liczb. Odkrycia te tworzą pokaźną kolekcję, ale przed prezentacją niektórych eksponatów warto zwrócić uwagę na praktyczny aspekt LT.

Jeśli więc:

a) w turnieju uczestniczy n drużyn i każda powinna rozegrać jeden mecz z każdą z pozostałych;

b) w sieci obejmującej n urządzeń (np. komputerów) każde dwa muszą być ze sobą połączone;

c) w grupie n osób każde dwie powinny się przywitać,

to:

liczba meczów (a), przewodów łączących (b), uścisków dłoni (c) jest LT= T_n.

Wszystkie te sytuacje dotyczą teorii grafów, a konkretnie faktu, że liczba krawędzi grafu pełnego o n+1 wierzchołkach równa jest T_n. Graf pełny jest układem punktów (wierzchołków), z których każde dwa połączone są odcinkiem (krawędzią). Przykład na rys. 6: n+1=5, T_n=T₄=10. Wiąże się z tym także liczba kamieni w dominie, których każdy komplet (nie tylko tradycyjny zwany szóstkowym) obejmuje wszystkie kombinacje par liczb od 0 do n-1 (dla n–1=6 T_n=T₇=28).

Inny praktyczny przykład udziału LT, choć z lekkim przymrużeniem oka, dotyczy podziału okrągłego tortu n prostymi cięciami na największą możliwą liczbę kawałków. Matematycznie chodzi o podział płaszczyzny, a szukana maksymalna liczba części równa jest T_n+1. Przykład dla n=5 na rys. 7 (T₅+1=16).

* * *

Większość własności arytmetycznych LT to proste cechy lub zależności, których dowód lub wyjaśnienie może być ćwiczeniem logicznym albo zadaniem, odwołującym się do podstawowych wzorów. Na przykład: dlaczego w ciągu LT występują na przemian pary liczb nieparzystych i parzystych? Odpowiedź: ponieważ T_n=n(n+1)/2 jest liczbą parzystą wtedy, gdy jedna z pary liczb (n, n+1) jest wielokrotnością czterech, zaś w ciągu par (n, n+1) występują na przemian dwie pary z wielokrotnościami czterech i dwie bez takiej wielokrotności.

Trudniej wyjaśnić, dlaczego żadna LT nie kończy się cyfrą 2, 4, 7 lub 9, natomiast w ciągu LT końcowe cyfry liczb tworzą ciąg okresowy z 20-cyfrowym okresem palindromowym (identycznym wprost i wspak): 0,1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0,1,3,6, … . Osobliwe jest także to, że OSC, czyli tzw. ostateczna suma cyfr LT, może być równa tylko 1, 3, 6 lub 9, a OSC kolejnych LT tworzą ciąg 7-cyfrowych okresów palindromowych przeplatanych parą dziewiątek: 1,3,6,1,6,3,1,9,9,1,3,6 … . (OSC liczby x jest wynikiem sumowania jej cyfr i ewentualnie cyfr otrzymanej sumy i każdej następnej sumy dotąd, aż pojawi się suma jednocyfrowa, czyli właśnie OSC, np. OSCT₁₃=91→10→1).

Podstawowa równość T_n-1+T_n=n² stanowi inspirację do pytania, czy także jakiś tercet, kwartet lub kwintet kolejnych LT może dać sumę będącą kwadratem. Wzory na sumę tercetu – 3n(n-1)/2+1 i kwartetu – 2n²+2 nie wykluczają takiej możliwości, ale przykłady są rzadkością. Najmniejsze dla tercetu to 64 (od T₅ do T₇: 15+21+28) i 361 (od T₁₄ do T₁₆: 105+120+136); dla kwartetu – 100 (od T₅ do T₈: 15+21+28+36) i 3364=582 (od T₃₉ do T₄₂: 780+820+861+903). Natomiast wzór dla kwintetu – 5×(n²-n+2) – wyklucza kwadraty, które, jak wynika z początkowej piątki, powinny kończyć się na 00 lub 25, ale w przypadku podanego wzoru nie jest to możliwe (dlaczego?).

Wiele innych własności LT wiąże się z kwadratami. Jeśli pominąć jedynkę, która sama jest swoim kwadratem (K₁), to 6 jest jedyną LT której kwadrat (K₂=36) też jest LT. Mając te dwa startowe kwadraty, można tworzyć wszystkie następne, bazując na wzorze rekurencyjnym: K_n=34K_n-1-K_n-2+2. Ten ciąg LT kwadratów bardzo szybko rośnie. Po 36 mamy K₃=T₄₉=1225=35² i K₄=T₂₈₈=41616=204², a każdy kolejny jest o 1 lub 2 cyfry dłuższy, więc podstawa dziesiątego sięga już prawie 8 mln.

Suma kwadratów dwóch kolejnych LT (T_n-1 i T_n) równa jest LT z indeksem równym kwadratowi n, czyli (T_n-1)²+(T_n)²=T_nn (wykładnik w indeksie dolnym byłby nieczytelny – stąd iloczyn nn). Przykład: (T₁₂)²+(T₁₃)²=T₁₆₉, czyli 78²+91²=6084+8281=14 365.

Iloczyn dwóch kolejnych LT nie może być kwadratem, co wynika z łatwego do wyprowadzenia wzoru na taki iloczyn – n²(n²–1)/4, chyba że… popełnimy czeski błąd: T₁₁×T₁₂=5184=72² (powinno być 5148). Iloczyn trzech kolejnych LT już takiej możliwości nie wyklucza, a matematycy ustalili, że będzie kwadratem tylko dla n=1, 3, 17, … – ogólnie dla n=(3m–1)/2, gdzie m_n=6m_n-1–m_n-2. Ta „dwustopniowa” zależność powoduje, że choć kwadratowych iloczynów kolejnych LT jest nieskończenie wiele, to są one niezwykle rzadkie: po pierwszym równym 900=30²=T₃×T₄×T₅=6×10×15 już drugi sięga dziesiątek milionów – 34 222 500=5850²=T₂₄×T₂₅×T₂₆=300×325×351, a trzeci jest 13-cyfrowy.

Kwadrat może być iloczynem nieskończenie wielu par LT (T_n×T_m=x², uwzględniając także n=m), choć oczywiście takich par, a więc i kwadratów jest niewiele – do miliona 53, od 1 do 980 100=990²=(T₄₄)²; przykład dla n<m: 44 100=210²=36×1225=T₈×T₄₉.

* * *

Wielu matematyków, także tych z górnej półki (Fermat, Mersenne, Pascal, Euler, Gauss), miało słabość do LT. Fermat dowiódł, że żadna LT>1 nie może być sześcianem, czwartą ani piątą potęgą. Dowód braku sześcianu jest prosty. Z założenia, że jest to możliwe, wynika wzór n(n+1)/2=x³. Po pomnożeniu obu stron przez 8 i przekształceniach otrzymujemy: (2n+1)²–(2x)³=1, a równość ta – zgodnie z tzw. twierdzeniem Mihăilescu o różnicy potęg – jest prawdziwa tylko dla podstawy kwadratu równej 3 i podstawy sześcianu równej 2, czyli dla n=1. Jeszcze prostszy, niemal trywialny jest dowód, że żadna LT>3 nie może być liczbą pierwszą.

Dziełem Fermata i Eulera jest wiele zależności między LT, m.in.: 9T_n+1=T_3n+1, 25T_n+3=T_5n+2, 49T_n+6=T_7n+3. Dwie najbardziej znane z sześcianami to: 6×(T₁+T₂+…+T_n–1)+n=n³ oraz (T_n)²–(T_n–1)²=n³. Z drugiego wynika, że suma n pierwszych sześcianów jest kwadratem T_n, np. 1+8+27+64=10²=(T₄)².

LT, które są iloczynami dwu kolejnych liczb, jest nieskończenie wiele. Zaczynają się od 6 i 210, ale bardzo szybko stają się gigantami – już dziesiąta jest 15-cyfrowa. Dla odmiany LT równa iloczynowi czterech kolejnych liczb to unikat (120), a w roku 1991 hinduski matematyk S. P. Mohanty dowiódł, że jest tylko sześć LT iloczynów trzech kolejnych liczb (6, 120, 210, 990, 185 136, 258 474 216). Iloczyn więcej niż czterech kolejnych liczb wśród LT nie występuje.

Gros odkrytych zależności między LT łatwo wyprowadzić, ale są i takie, które długo były hipotezami lub pozostają nimi do dziś. Najbardziej znaną sformułował w roku 1636 Fermat: każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej trzech LT. Fakt ten długo pozostawał hipotezą – udowodnił ją dopiero w roku 1796 Gauss (wówczas 19-latek!).

Zagadką pozostaje związek LT z liczbami doskonałymi, czyli takimi, które są sumą wszystkich swoich dzielników właściwych (6, 28, 496, 8128, …). Zagadkowość tych liczb polega wprawdzie głównie na tym, że wszystkie są parzyste i dotąd nikt nie udowodnił, że musi tak być, ale podobnie nie wiadomo – i wydaje się to nawet bardziej osobliwe – dlaczego wszystkie są LT.

Na koniec wróćmy do trójkątnej jazdy figurowej, ale nieco innej. W matematyce rekreacyjnej jest dział zwany czasem arytmetyką figurową, który obejmuje budowanie uporządkowanych schematów działań, tworzących regularne kształty. Oto prosty trójkątny przykład takiego schematu:

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20=21+22+23+24

itd.

Okazuje się, że podobny trójkąt równości tworzą LT:

T₁+ T₂+ T₃= T₄

T₅+ T₆+ T₇+ T₈= T₉+T₁₀

T₁₁+T₁₂+T₁₃+T₁₄+T₁₅=T₁₆+T₁₇+T₁₈

itd.

I nie jest to jedyny przykład obecności LT w figurowej arytmetyce.

* * *

Na koniec wypada wspomnieć o odkryciu, które położyło się cieniem na reputacji LT. W 1619 roku niemiecki lekarz i matematyk Johann Remmelin zauważył, że T₃₆ równa jest 666, czyli jest tzw. Liczbą Bestii, pojawiającą się w Apokalipsie św. Jana i utożsamianą z Szatanem lub Antychrystem. Na szczęście odkrycie to nie miało wpływu na ogólną opinię o LT i zajmujący się nimi matematycy nie byli zagrożeni ekskomuniką.

Zadania

1. Jakie powinny być różne wartości niewiadomych x, y, z, aby spełnione było równanie (T_x)²+(T_y)²=2(T_z)²? To zadanie można rozwiązać, korzystając tylko z informacji zawartych w powyższym artykule.

2. Z udowodnionej przez Gaussa hipotezy Fermata, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej trzech LT, można wywnioskować, że każda liczba postaci 8x+3 jest sumą trzech liczb takiego samego rodzaju. Jakiego? Chodzi o precyzyjną odpowiedź określającą rodzaj tych liczb.

3. Popularny w kilku krajach teleturniej oparty na francuskim formacie Des chiffres et des lettres (Cyfry i litery) składa się z dwóch etapów – liczbowego i słownego. Etap liczbowy polega na tworzeniu z sześciu wylosowanych liczb działania, dającego wynik jak najbliższy wylosowanego. Załóżmy, że wylosowano sześć pierwszych LT: 1, 3, 6, 10, 15, 21. Zadanie polega na utworzeniu z tych liczb działania, którego wynik będzie nie najbliższy, ale równy trzynastej LT, czyli T₁₃=91. Należy wykorzystać wszystkie sześć liczb – każdą dokładnie raz oraz każdy z czterech różnych podstawowych znaków działań, a więc jeden dwukrotnie. Nawiasy są zabronione.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia 2024 r. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 12/24. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką popularnonaukową. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru październikowego

1. Samomat zwykły (rys. 8).

1. Se2-g1+ Sb2:d1

2. Gg5-e3+ Kg4-h4

3. Ge3-f2 Sd1:f2X

2. Samomat maksymalny (rys. 9).

1. Kg3-h3 Ha1-h8

2. Wg2-g7 Hh8-a8

3. Wg7-g3 Ha8-h1X

3. Samomat seryjny (rys. 10).

1. Wa1:a2, 2. Wa2-e2, 3. Wf4-f3+ Sd4:f3X lub 1. Gd1-c2, 2. długa roszada, 3. Sg3-e2+ Sd4:e2X

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Richarda Dawkinsa Na skrzydłach wyobraźni. Walka człowieka i ewolucji z grawitacją, ufundowaną przez Wydawnictwo Naukowe Helion, otrzymują: Piotr Mesyjasz z Warszawy, Krzysztof Szeruga z Wrocławia, Piotr Wójtowicz z Krakowa.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.