Liczby z liczb czyli wariacje anagramowe

Anagram jest w słowniku języka polskiego PWN zdefiniowany jako „wyraz utworzony przez przestawienie liter lub sylab innego wyrazu” (fragment „lub sylab” wydaje się zbędny, bo określa rodzaj przestawienia liter, a więc szczególny rodzaj anagramu). W tej definicji warto zwrócić uwagę na końcówkę „innego wyrazu”, bo samo przestawienie liter nie tworzy anagramu. Na przykład, po zamianie miejscami drugiej i ostatniej litery w słowie JADŁO powstaje anagram JODŁA, ale zamiana pozycji tych samych kolejnych liter w wyrazie NAUKA nie daje innego wyrazu, stanowi tylko trywialny efekt nietrywialnej permutacji.

Anagram pojawia się także w matematyce. Oznacza liczbę utworzoną przez przestawienie cyfr innej liczby. Przeniesienie tego pojęcia na liczby ma sens także dlatego, że liczby bywają w niektórych sytuacjach nazywane wyrazami, zwłaszcza wtedy, gdy tworzą ciąg. Anagramy liczbowe są jednak pod pewnymi względami szczególne. Przede wszystkim nie są ograniczone semantycznie, czyli na przykład NAUKA i AAKNU to nie anagramy, tylko co najwyżej permutacje, natomiast 12342 i 22413 są permutacjami i anagramami. Chociaż niektóre liczby w ogóle nie mają anagramów ze względów formalnych – to te, które składają się z jednakowych cyfr, jak choćby przypisana modelowi Boeinga liczba 777. Odpowiednikami językowymi tego przypadku są nieliczne onomatopeje, jak naśladująca głos żmii lub uchodzącego pod ciśnieniem gazu – SSS!

Obecność anagramów w matematyce rekreacyjnej sprowadza się głównie do szukania ich dodatkowych – innych niż anagramowe – związków z liczbami wyjściowymi. Najprostszy przykład to kwadraty, których anagramy także są kwadratami. Jest ich zaskakująco dużo, bo wśród 100 pierwszych kwadratów aż 35, czyli ponad jedna trzecia. Wynika to głównie z ograniczonego wprawdzie, ale jednak niemałego zestawu możliwych końcówek kwadratów – nie tylko jedno- (0, 1, 4, 5, 6, 9), ale także dwucyfrowych. Są nawet w zakresie do 10⁴ dwa anagramowe tercety: {169, 196 i 961} oraz {1296, 2916 i 9216}, a dalej nie brak również większych zespołów, na przykład sekstetu: {10609, 16900, 19600, 61009, 90601, 96100}.

Na podobnej zasadzie funkcjonują łowy na kwadraty, których anagramy są liczbami pierwszymi. Tu możliwości permutacji jest nieco więcej, zatem słabość do zmieniania się w liczby pierwsze ma 41 kwadratów mniejszych od 100 początkowych. Gdyby szukać w tym gronie okazu z największą predylekcją, należałoby się skupić na kwadratach złożonych tylko z cyfr nieparzystych {1, 3, 7, 9}, ale takich kwadratów… nie ma.

Prosty, choć niezbyt elegancki dowód tej nieobecności sprowadza się do wypisania wszystkich 22 możliwych dwucyfrowych końcówek kwadratów {00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96}. Teraz wystarczy zauważyć, że każda końcówka zawiera przynajmniej jedną cyfrę parzystą. Kwadratami totalnie nieparzystymi są tylko 1 i 9. Ku pierwszoliczbowym anagramom najbliżej jest więc kwadratom z jedną cyfrą parzystą. Wśród 4-cyfrowych prym wiodą 61², czyli 3721 oraz 89², czyli 7921. Spośród 18 podejrzanych o pierwszość permutacji czterech cyfr tworzących każdy z tych kwadratów (wszystkie permutacje bez 2 na końcu) aż 11 jest liczbami pierwszymi – od 1237 do 7321 oraz od 1279 do 9721. Natomiast ekstremalną osobliwością jest największy kwadrat złożony z różnych cyfr, którego żaden z 9!=362 280 anagramów nie jest liczbą pierwszą. To 99 066²=9 814 072 356, a wyjaśnienie braku liczb pierwszych wśród anagramów tego kwadratu jest oczywiście trywialne.

* * *

Ogólnie można wyróżnić dwa rodzaje anagramowych powiązań między liczbami; obu dotyczą podane wyżej przykłady. W pierwszym rodzaju liczby i ich anagramy należą do tej samej „rodziny”, na przykład są kwadratami. W drugim – do różnych, jak w przykładzie z anagramowaniem kwadratów dającym liczby pierwsze. W ramach pierwszego rodzaju wypadałoby jeszcze wspomnieć o anagramowaniu liczb pierwszych do ich samych, zwłaszcza że rodzina tych liczb obfituje w anagramy. Właściwie do rzadkości należą liczby pierwsze, których każdy anagram jest liczbą złożoną. Wśród pierwszego tysiąca liczb pierwszych zaledwie 88 (od 19 do 9887) w ogóle nie anagramuje się do liczby pierwszej. Większość z nich (63) stanowią oczywiście takie, których prawie wszystkie cyfry – poza ostatnią – należą do zbioru {2,4,5,6,8}, bo wówczas liczba permutacji liczby n-cyfrowej z szansą na pierwszość maleje n-krotnie, czyli wynosi (n–1)!.

Do niedawna pozostawało zagadką, czy ciąg liczb pierwszych, których żaden anagram nie grzeszy pierwszością, jest skończony. Definitywnej odpowiedzi wciąż brak, ale wydaje się, że można tworzyć dowolnie duże liczby tego rodzaju, bazując na tzw. repdigitach (liczby złożone z jednakowych cyfr) i uzupełniając je jedną lub dwiema innymi cyframi. Typowymi przykładami są liczby pierwsze 101 111 111 i 338 333 333 383 – każdy z 7 anagramów pierwszej i 65 anagramów drugiej jest liczbą złożoną. Ciąg będzie natomiast skończony przy dodatkowym warunku: każdy wyraz jest liczbą pierwszą złożoną z różnych cyfr – wtedy liczb jest tylko 30, a ostatnia to 5849.

Osobliwością jest także to, że żadna liczba pierwsza bez pierwszych anagramów nie zawiera więcej niż czterech różnych cyfr, a więc już w każdej 5-cyfrowej przynajmniej jedna cyfra musi się powtarzać. Nie oznacza to oczywiście, że wśród 120 permutacji liczby złożonej z pięciu różnych cyfr – z których przynajmniej jedna należy do zbioru {1, 3, 7, 9} – musi być liczba pierwsza. Na przykład każda z 72 permutacji liczby 12 375 podejrzanych o pierwszość (zakończonych jedynką, trójką lub siódemką) jest liczbą złożoną – zresztą z takiego samego trywialnego powodu, jak wyżej liczba 9 814 072 356.

* * *

Liczba 12 375 pojawia się także w bardziej spektakularnym przykładzie. Wystarczy pomnożyć ją przez 3, aby stwierdzić, że należy do elitarnego grona liczb multipermutacyjnych (w skrócie LMP), czyli takich, których niektóre anagramy są ich wielokrotnościami. Grono to zaczyna się siedmioma okazami 4-cyfrowymi zamieszczonymi w poniższej tabeli wraz z mnożnikami i anagramowymi iloczynami. Dalej jest 48 5-cyfrowych, z których do tabeli trafiło 17, tworzących zespoły anagramowe – 4 duety, kwartet (początkowa liczba 17 802) i kwintet (początkowa 17 982). Wszystkie LMP są podzielne przez 3, a znajdujące się w tabeli nawet przez 9. Dlaczego? – to nietrudna zagadka.

Najbardziej znana elita LMP zaczyna się jednak od liczb 6-cyfrowych. To tzw. liczby koliste. Każda z nich tworzy zbiór anagramowy, który najlepiej widoczny jest po zapisaniu kolejnych cyfr liczby na pierścieniu. Tak właśnie na rys. 1 (wewnętrzny pierścień) jest przedstawiona najmniejsza liczba kolista – 142857. Z jej kołowego zapisu można odczytać każdą wielokrotność 142857 od 2- do 6-krotności, zaczynając od cyfry obok odpowiedniego niebieskiego mnożnika i zaliczając kolejne pozostałe cyfry zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W ten sposób powstaje 6 anagramów-wielokrotności (ściślej – cykloanagramów) najmniejszej kolistej LMP.

Wyłącznie liczbom kolistym poświęcony był „Umysł giętki” w listopadzie 2018 roku. Tu warto wspomnieć, że każda taka liczba jest k-cyfrowym okresem ułamka jednostkowego (jedynka w liczniku), w którego mianowniku znajduje się jedna z liczb pierwszych p=k+1, tworzących „chaotyczny” (nieokreślony wzorem) ciąg: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, … . Jak z tego wynika, liczby koliste szybko stają się gigantami; pierścieniowa wersja piątej, 28-cyfrowej z 27 cykloanagramami, tworzy zewnętrzny pierścień na rys. 2 (dwie najmniejsze liczby zaczynają się zerem nieznaczącym).

* * *

O ile w prezentowanych dotąd anagramowych zależnościach między liczbami można doszukać się odniesień do poważnej matematyki, o tyle większość pozostałych ma głównie charakter zabaw liczbowych.

Przed 20 laty amerykański popularyzator nauki Clifford A. Pickover „odkrył” liczby wampiryczne (LW). To iloczyny złożone z parzystej liczby cyfr, których połowa tworzy mnożną, a druga połowa mnożnik działania, czyli zestawy cyfr po obu stronach znaku równości są względem siebie anagramami. Oto kilka początkowych LW wraz z ich mnożeniami-anagramami:

1260=21×60

1395=15×93

1435=35×41

1530=30×51

1827=21×87

2187=27×81

6880=80×86

102 510=201×510

104 260=260×401

105 210=210×501

105 264=204×516

Wśród LW występują duety i większe zespoły anagramowe (np. 1827–2187 lub 105 264–125 460–156 240), ale – co bardziej osobliwe – anagramami są także niektóre pary kolisto-wampiryczne (np. 1035 i 1530 lub 1782 i 1827). Warto też zauważyć, że wampiryczność bywa wielokrotna, począwszy od podwójnej, na przykład 125 460=204×615=246×510. Naciągana i efekciarska nazwa LW (para czynników jakoby kojarzy się z parą kłów wampira) przyjęła się ze względu na spektakularność, a same liczby zapoczątkowały kilka podobnych pomysłów. Najpierw pojawiły się LW2 (drugiego rodzaju) – bez ograniczania liczby cyfr do parzystej i liczby kłów do dwóch jednakowej długości. Efektem był debiut trzech liczb 3-cyfrowych:

126=21×6

153=51×3

688=86×8

ośmiu nowych 4-cyfrowych, m.in.:

1255=251×5

1395=31×9×5

3784=473×8

a dalej 100 5-cyfrowych, 606 6-cyfrowych i tysięcy większych. Programiści liczbomaniacy zatrudnili do poszukiwań komputery i jeden z nich dotarł nawet do 10-cyfrowego rekordu LW1: 3085 816248=68 088×45 321.

Końcowym etapem ewolucji LW są liczby Friedmana (LF), w których tworzeniu prawie wszystkie podstawowe chwyty są dozwolone – cztery główne działania, potęgowanie i nawiasy. Lista LF zaczyna się od zabawnego drobiazgu 25=5², a dalej potęgowanie jako nowość także odgrywa istotną rolę, na przykład 121=11², 125=5¹⁺², 3864=3×(–8+6⁴); ostatni przykład należy do LF zwanych „szlachetnymi”, bo w działaniach jest zachowana taka sama kolejność cyfr, jak w LF. Mnóstwo możliwych kombinacji powoduje, że chociaż nad większością liczb, zwłaszcza krótszych niż 5-cyfrowe, „znęcano” się już bardzo intensywnie, aby wciągnąć je na listę LF, to nie ma pewności, że lista jest kompletna, więc każdemu może się jeszcze udać złowić nawet jakiś 4- lub 5-cyfrowy okaz, nawet „szlachetny”.

Zadania

1. Liczba 1530 jest wampiryczna na dwa sposoby – oba są 2-liczbowe (można i mnożnik):

1530=30×51=3×510.

1008126 także jest podwójną LW. Jak wyglądają oba wampiryczne mnożenia (nie muszą być 2-liczbowe)?

2. X jest 4-cyfrową liczbą 4-krotnie większą od liczby pierwszej, która jest o 10 mniejsza od kwadratu. Anagram X jest liczbą pierwszą o 1 mniejszą od 3X. Jaką liczbą jest X?

3. Wśród siedmiu podanych mnożeń, określających 4-cyfrowe liczby wampiryczne, cztery nie zawierają zera. Osiem 2-cyfrowych czynników z tych mnożeń uzupełnionych centralną szóstką tworzy wampiryczne sudoku (rys. 2); niektóre czynniki występują w nim dwukrotnie. Zadanie ma wiele rozwiązań, ale jako końcowe wystarczy podać najmniejszą możliwą sumę liczb w 9 polach na przekątnej łączącej lewy dolny róg z prawym górnym.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 28 lutego 2025 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 2/25. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką popularnonaukową. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl

***

Rozwiązania zadań z numeru grudniowego

1. Równanie, określające sumę kwadratów liczb trójkątnych – (T_x)²+(T_y)²=2(T_z)² – jest spełnione dla x=2 (T₂=3), y=6 (T₆=21), z=5 (T₅=15), czyli 9+441=450.

2. Z udowodnionej przez Gaussa hipotezy Fermata, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej trzech liczb trójkątnych, można wywnioskować, że każda liczba postaci 8x+3 (11, 19, 27, 35, 43,…) jest sumą trzech kwadratów liczb nieparzystych, ponieważ 8x+3 = 8(T_n+T_m+T_r)+3 = 4n(n+1)+4m(m+1)+4r(r+1)+3 = (2n+1)²+(2m+1)²+(2r+1)².

3. Korzystając tylko raz z każdej z sześciu pierwszych liczb trójkątnych (1, 3, 6, 10, 15, 21) oraz nie pomijając żadnego z czterech podstawowych znaków działań i nie używając nawiasów, można utworzyć równość, której wynikiem będzie trzynasta liczba trójkątna (91), na wiele sposobów, na przykład: 21:6×10×3-15+1=91 lub 6×21-3×15+10:1=91.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę popularnonaukową otrzymują: Jakub Janecki z Milanówka, Marcin Karczmarczyk z Piaseczna, Magdalena Rolińska z Łodzi, Janusz Wojtal z Warszawy.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.