Zajęty podłokietnik, czyli paradoks inspekcji

Czy czasem towarzyszy ci poczucie, że twoi znajomi mają więcej przyjaciół niż ty? Chociaż twoja mama może uważać, że jesteś tak samo lubiany, matematyczny paradoks inspekcji wyjaśnia, dlaczego prawdopodobnie masz rację. Wyjaśnia też zbyt długie oczekiwanie na pociąg lub autobus albo na połączenie z centralą telefoniczną, a także przyczyny innych codziennych frustracji.

Weźmy pod uwagę sieć społecznościową taką jak Facebook, której przeciętny użytkownik ma kilkuset znajomych/przyjaciół. Osoba mająca 10 tys. znajomych pojawia się na listach 10 tys. innych użytkowników, z których bardzo wielu czuje się w porównaniu z taką osobą mniej lubianymi. Jednak ktoś mający pięciu znajomych występuje tylko na listach tych 5 osób, co sprawia, że tylko co najwyżej 5 osób czuje się bardziej lubianymi. Oto więc kluczowa zasada: im częściej występuje dana osoba na listach znajomych innych użytkowników, tym bardziej jest lubiana. Jest bardziej prawdopodobne, że będziesz miał bardziej popularnych przyjaciół niż ty, właśnie dlatego, że są popularni. Nie mów tego mamie.

Rozważmy bardzo prostą sieć społecznościową (Grafika nr 1).

Chandler ma 3 przyjaciół, Monica i Phoebe po 2, a Janice 1, co w sumie daje 8. Dzielimy te 8 przez 4 osoby w sieci, aby otrzymać średnio 2 znajomych przypadających na każdą osobę. Zauważmy jednak, że przyjaciele Moniki mają średnio 2,5 znajomego (3 Chandlera i 2 Phoebe podzielone przez 2). Przyjaciele Moniki mają więc średnio więcej przyjaciół niż ona (2,5 > 2), co może sprawić, że Monika poczuje się mniej lubiana, mimo że w rzeczywistości wypada dokładnie średnio. Zatem z jej perspektywy krąg jej znajomych wygląda inaczej niż z perspektywy sieci jako całości.

Tak samo jest w przypadku Phoebe i Janice, których przyjaciele mają średnio odpowiednio 2,5 i 3 przyjaciół. Jedynie grupa przyjaciół Chandlera jest względnie mniej lubiana – ich średnia wynosi 1,67. Zatem większość osób w tej grupie czuje się mniej lubiana niż ich znajomi. Innym sposobem ilościowego określenia tej sytuacji jest uwzględnienie średniej liczby przyjaciół, która tutaj w przybliżeniu wynosi (2,5+2,5+3+1,67)/4=2,42. Liczba ta jest większa niż średnia liczba znajomych każdej osoby, czyli 2.

Takie zależności dotyczą dowolnej sieci (chyba, że wszyscy będą mieli taką samą liczbę znajomych, wtedy liczba polubień się wyrówna). Współznajomi danych osób mają średnio więcej współznajomych niż te osoby. Chociaż taką dynamikę sieci społecznościowych nazywa się czasem paradoksem przyjaźni, należy ona do bardziej ogólnego zjawiska zwanego paradoksem inspekcji.

Właściwie nie jest to paradoks, ponieważ oba podejścia do związanego z nim zagadnienia mogą być równocześnie słuszne. Pozorna sprzeczność pojawia się wtedy, gdy jednostki postrzegają średnią jako większą, niż sugerowałaby to perspektywa globalna, ponieważ jest bardziej prawdopodobne, że mają do czynienia z dużymi wartościami. Przyjaciele Moniki w naszej hipotetycznej małej sieci wydają się jej bardziej lubiani niż ona sama, jednocześnie ma ona przeciętną liczbę przyjaciół.

Oto kolejny przykład. Jeśli zapytamy studentów uczelni o liczbę osób w ich grupie, podawana przez nich średnia wartość zawsze będzie większa niż oficjalne raporty administracji dotyczące średniej wielkości grup. Czy ci studenci przesadzają? Czy administracja zaniża liczby, aby relacja między liczbą uczniów a nauczycieli wyglądała korzystniej? Nie – obie liczby są właściwe. Studenci uczestniczący w wykładach zgłaszają oczywiście średnią liczebność większych grup, podczas gdy studenci, którzy uczęszczają wyłącznie na kameralne seminaria, podają średnią liczebność grup mniejszych – ale w obu przypadkach występują prawdziwe liczby. Te pierwsze grupy są zdecydowanie liczniejsze, ponieważ w aulach mieści się więcej osób niż w salach seminaryjnych, zatem wśród odpowiedzi studentów częściej pojawiają się duże liczby, podczas gdy uczelnia, obliczając średnią wielkość grup, duże wykłady i małe seminaria liczy tylko raz.

Paradoks inspekcji ma także miejsce w niektórych bardziej prozaicznych okolicznościach. Załóżmy, że zarząd transportu obiecuje, że pociągi metra będą kursować średnio co osiem minut. Jeśli znajdziemy się na stacji w przypadkowym momencie między pociągami (pomijamy godziny szczytu), czasem będziemy czekać 7 minut i 50 sekund, a innym razem usłyszymy nadjeżdżający pociąg tuż po przekroczeniu bramki obrotowej. Można się spodziewać, że przy wielu wizytach na stacji średni czas oczekiwania wyniesie około czterech minut.

Dlaczego więc zwykle ten czas wydaje się dłuższy? Ponieważ przyjazdy średnio co 8 min nie oznaczają zawsze dokładnie takiego czasu. Rozkład jazdy zwykle się zmienia. Dlaczego jednak pechowo trafiamy na dłuższe przerwy? To nie pech tylko prawdopodobieństwo. Bardziej prawdopodobne jest, że trafimy na stację w dłuższej przerwie po prostu dlatego, że jest ona dłuższa.

Na przykładowej osi czasu (Grafika nr 2) oznaczono sześć przerw między pociągami – połowa z nich trwa 12 min, a druga połowa 4 min. Zarząd transportu publicznego może informować o średnio 8 min między pociągami, ale indywidualni pasażerowie trzy razy częściej pojawiają się w długich odstępach czasu i doświadczają frustrującego oczekiwania.

Naukowcy muszą zachować szczególną ostrożność w związku z paradoksem kontroli i uprzedzeniami, jakie może on powodować. Aby na przykład przeprowadzić badanie średniej liczebności grup na uczelni, należy dokładnie określić, co będzie mierzone, i odpowiednio dostosować metodologię pomiaru.

Jednak niektórzy sprytni badacze wykorzystali to zjawisko do korzystniejszego losowego pobierania próbek. Szczególnie interesujący przykład pochodzi z badania dotyczącego rozprzestrzeniania się grypy. Podczas epidemii osoby bardziej towarzyskie zwykle wcześniej zapadają na chorobę ze względu na częsty kontakt społeczny. Aby szybko epidemię wykryć, epidemiolodzy mogliby priorytetowo potraktować monitorowanie tych osób, gdyby wiedzieli z góry, które takimi są. Prosta metoda sprawdzania obecności grypy u przypadkowych osób z danej populacji nie uwzględnia pierwszeństwa ludzi z częstymi kontaktami, a mapowanie struktury sieci społecznościowej zajęłoby zbyt dużo czasu. Zamiast tego badacze próbowali wybierać przypadkowe osoby i monitorować ich znajomych. Ta niewielka zmiana znacznie zwiększa szanse, że w próbie pojawią się osoby z częstymi kontaktami, ponieważ, jak widzieliśmy, przyjaciele danej osoby są zwykle bardziej lubiani niż ona sama. Ta metoda umożliwiła naukowcom wykrycie epidemii grypy dwa tygodnie wcześniej niż w przypadku tradycyjnego losowego pobierania próbek.

Także tym z nas, którzy nie prowadzą badań, paradoks kontroli może umożliwić wyjaśnienie codziennych sytuacji. Na przykład, dlaczego centrale telefoniczne zawsze wydają się mieć nadmierną liczbę połączeń? Może tylko tak twierdzą, żeby usprawiedliwić braki kadrowe, albo wszyscy mamy tendencję do dzwonienia w tym samym czasie, na przykład podczas przerwy na lunch. Ale być może po prostu z większym prawdopodobieństwem należymy do większej grupy osób telefonujących jednocześnie właśnie dlatego, że jest większa. Jeśli linie lotnicze narzekają, że zbyt mało osób kupuje bilety i są zmuszone latać prawie pustymi samolotami, dlaczego tak rzadko można cieszyć się luksusem niezależnego podłokietnika? Ponieważ w ogóle niewielu osobom to się trafia.

Czasami, gdy wydaje nam się, że brakuje nam szczęścia, pomocne może się okazać szersze spojrzenie. Przynajmniej będziemy się mieli nad czym zastanawiać, czekając na następny pociąg.