1 – 1 + 1 – 1 + 1 − 1 + …

Oto trywialne pytanie: ile wynosi 1–1? Oczywiście zero. Jeśli teraz dodamy 1, to wynik wzrośnie, a gdy następnie odejmiemy 1 – wróci do zera. A jeżeli będziemy robić tak w nieskończoność:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...

to jaki będzie wynik? Pytanie wydaje się niezbyt mądre, a mimo to w XVIII wieku wprawiło w zakłopotanie kilku wybitnych matematyków. Problem jest paradoksalny, ponieważ różne argumenty dotyczące sumy, które wydają się sensowne, prowadzą do radykalnie różnych wniosków. Pierwsza osoba, która wnikliwie zajęła się tym problemem, uważała, że wyjaśnia on sposób, w jaki… Bóg stworzył świat. Współczesne jego rozwiązanie uwidacznia niedoceniany „ludzki” aspekt matematyki.

Oto więc zagadka: która z odpowiedzi na pytanie o nieskończoną sumę tego szeregu jest właściwa?:

A. 0

B. 1

C. ½

D. nie jest równa żadnej liczbie.

Argument za 0 pojawia się po wstawieniu nawiasów:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...

Jak wiadomo, zasada kolejności działań nakazuje wykonywanie najpierw tych w nawiasach, więc każde (1 – 1) da 0, a szereg zmienia się w 0 + 0 + 0 + …, co oczywiście daje zero. Jednak małe przesunięcie nawiasów – po oddzieleniu pierwszej jedynki – prowadzi do innego wyniku:

1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ...

Ponownie wszystkie wyrażenia w nawiasach dają zero, ale pozostaje początkowa jedynka, zatem całość sumuje się do 1.

Włoski mnich i matematyk Luigi Guido Grandi pierwszy zastanawiał się nad tą sumą nieskończenie wielu liczb w 1703 roku (stąd nazwa szereg Grandiego) i zauważył, że samo przesuwanie nawiasów powoduje, że suma wynosi 0 lub 1. Zdaniem historyka matematyki Giorgio Bagniego tę arytmetyczną niespójność Grandi traktował także teologicznie – uważał ją za świadectwo, że stworzenie czegoś z niczego było „całkowicie prawdopodobne”.

Szereg sumujący się zarówno do 0, jak i do 1, zakrawa na paradoksalny, a tymczasem okazuje się, że opcji C (½) też nie można wykluczyć. Jak suma nieskończenie wielu liczb całkowitych mogłaby być ułamkiem? A jednak ostatecznie Grandi i wielu innych matematyków XVIII wieku uważało, że odpowiedzią może być także ½. Grandi argumentował taki wynik przypowieścią: wyobraźmy sobie, że dwaj bracia odziedziczyli po ojcu jeden klejnot i każdy z nich trzyma go w swoim sejfie przez rok, po czym na rok przekazuje bratu; gdyby ta tradycja przekazywania klejnotu była kontynuowana przez ich potomków, wówczas każda rodzina dysponowałaby ½ prawa własności.

Trudno polecać tę historię jako dowód, na przykład na egzaminie. Niemiecki uczony Gottfried Wilhelm Leibniz zgodził się z wnioskiem Grandiego, ale próbował poprzeć go rozumowaniem probabilistycznym. Twierdził, że jeśli przerwiemy sumowanie w losowo wybranym momencie, to prawdopodobieństwo, że dotychczasowa suma wyniesie 0 albo 1 będzie takie samo, zatem ma sens uśrednienie sumy do ½. Uznawał taki wynik za poprawny, przyznając równocześnie, że to rozumowanie ma charakter bardziej „metafizyczny niż matematyczny”.

Szwajcarski matematyk Leonhard Euler zastosował bardziej skomplikowane metody, argumentując za ½, i zwrócił się do tych, którzy się z nim nie zgadzali, w utrzymanym w dość kategorycznym tonie akapicie swojej pracy z 1760 roku De seriebus divergentibus („O szeregach rozbieżnych”). Euler stwierdził: „nie ma wątpliwości, że w istocie szereg 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … oraz ułamek ½ są równoważnymi wartościami i zawsze można bez błędu zastąpić jedną drugą”. Odtąd wiele inteligentnych osób zaczęło opowiadać się za opcją C.

Podobne nieskończone ciągi liczb deprymowały myślicieli przynajmniej od starożytności, gdy pojawił się paradoks ruchu autorstwa Zenona z Elei. Jego znany przykład sprowadza się do spostrzeżenia, że, aby przejść jakąś drogę, trzeba najpierw pokonać jej połowę, potem połowę pozostałej części (¼ całej drogi), następnie połowę reszty dystansu (⅛) itd. Takie dzielenie na połowy można kontynuować w nieskończoność, co sugeruje, że przejście jakiejś drogi sprowadza się do wykonania nieskończonej liczby działań w skończonym czasie – to paradoks.

Podczas gdy filozofowie od blisko 24 wieków wciąż debatują nad metafizyką paradoksów Zenona, matematycy dokonali pod koniec XIX wieku znaczącego kroku w kierunku rozwiązania zagadek obejmujących zarówno te paradoksy, jak i szereg Grandiego. Podstawy rachunku różniczkowego umożliwiły sformułowanie definicji określających, kiedy nieskończony szereg sumuje się do wartości skończonych.

Szukanie odpowiedzi zaczyna się od sum częściowych – dodania pierwszych dwu wyrazów, następnie pierwszych trzech, potem pierwszych czterech itd. Jeśli te pośrednie sumy stale zbliżają się do określonej wartości, to mówimy, że szereg jest zbieżny do tej wartości. W przypadku szeregu w paradoksie ruchu Zenona z Elei na sumę składają się kolejno: połowa drogi, ćwierć drogi, ósma część drogi itd., czyli

¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ...

Pierwsze dwa wyrazy sumują się do 0,75, pierwsze trzy do 0,875, pierwsze cztery do 0,9375. Gdybyśmy zsumowali pierwsze 10 wyrazów, otrzymalibyśmy 0,9990234375. Sumy częściowe zbliżają się coraz bardziej do 1, więc szereg jest zbieżny do 1. Chociaż możemy postrzegać drogę jako nieskończoną liczbę dystansów, analiza matematyczna potwierdza, że ostatecznie sprowadzają się one do jednej drogi.

Sumy częściowe szeregu Grandiego oscylują między 0 a 1, nigdy nie osiągając jednej wartości. Dlatego współcześni matematycy skłaniają się ku opcji D (szereg Grandiego do niczego się nie sumuje).

Problem szeregu Grandiego rodzi pytania socjologiczne. Dlaczego społeczność matematyczna akceptuje korzystanie z sum częściowych, a pomija argument probabilistyczny Leibniza lub jakąś inną metodę sumowania szeregu nieskończonego? Odpowiedź: ponieważ mimo podobieństw sumowanie nieskończonego szeregu nie jest tym samym, co dodawanie. Na przykład dodawanie nie zmienia się, gdy przesuwamy nawiasy: 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3; natomiast w przypadku wielu szeregów – w tym szeregu Grandiego – nie ma takiej równości. Zwyczajowo matematycy, omawiając szeregi, zapożyczają słowa takie, jak „sumowanie” lub „równa się” z dodawania, ale stwierdzenie, że szereg Zenona z Elei „sumuje się do 1” lub „równa się 1”, oznacza ni mniej, ni więcej tylko to, że ciąg sum częściowych jest zbieżny do 1.

Operowanie zbieżnością sum częściowych nie jest arbitralne. Dla społeczności matematycznej jest korzystne, ponieważ pozwala uporać się z wieloma paradoksami, z którymi dawniej nie radzili sobie matematycy, zajmujący się sumami nieskończonymi i ujawnia wiele ciekawych własności sumowania. Jednak inne definicje zbieżności również są przydatne. Na przykład w przypadu sumowalności metodą Cesaro zamiast pytać, do jakiej liczby zbliżają się sumy częściowe, korzysta się ze średnich – najpierw ze średniej z dwóch pierwszych sum częściowych, następnie z trzech pierwszych, potem z pierwszych czterech itd. – a ostatecznie określa się wartość, do której zbliżają się te średnie. Zastosowanie tej metody do szeregu zbieżnego, takiego jak szereg Zenona z Elei, zawsze da taki sam wynik, jak sumowanie sum częściowych. Jednak w przypadku szeregów, które nie są zbieżne, wynik będzie inny. W szczególności szereg Grandiego ma sumę Cesaro równą ½.

W publikacjach matematycznych można znaleźć wiele innych metod sumowania. W rzeczywistości fizycznie nie jest możliwe dodawanie nieskończenie wielu obiektów, więc metody sumowania po prostu zapewniają sposoby przypisywania określonych wartości szeregom nieskończonym. Definicja sumy częściowej ma status sumy domyślnej, ale czasami także opcjonalnej.

Co ciekawe, szereg Grandiego sumuje się do ½ w przypadku większości alternatywnych metod. Zatem zwięzła odpowiedź na początkowe pytanie mogłaby brzmieć tak: szereg Grandiego nie sumuje się do niczego, ale gdyby tak było, to sumowałby się do ½.

***

Jack Murtagh pisze o matematyce i łamigłówkach, w tym o ciekawostkach matematycznych w „Scientific American” i o łamigłówkach na portalu Gizmodo. Uzyskał doktorat z informatyki teoretycznej na Harvard University. Aktywny w serwisie X (@JackPMurtagh).