Kafelkowanie: kiedy porządek zmienia się w chaos
Ogólnie rzecz biorąc, kafelkowanie to sposób na wypełnienie pewnej przestrzeni wieloma małymi kawałkami (kafelkami lub płytkami – określenia te dotyczą też wielowymiarowych obiektów), układanymi bez odstępów i bez zachodzenia na siebie. Nieskończenie duży parkiet lub zapełniony bagażnik to przykłady – 2- i 3-wymiarowy. Kafelkowanie jest okresowe, jeśli kopie jednego kształtu pasują do siebie we wzorze, który powtarza się w każdym kierunku, wypełniając przestrzeń – jak na przykład w przypadku problemu wypełnienia nieograniczenie wielkiego bagażnika tworzącymi wzór przedmiotami o identycznym kształcie. Zgodnie z hipotezą okresowego kafelkowania, wypełnianie przestrzeni każdym kształtem, bez obracania go lub odwracania, musi dawać powtarzalny, regularny wzór.
Autorzy artykułu opublikowanego w „Annals of Mathematics” obalili tę hipotezę, tworząc aperiodyczny kształt, którego kopie wypełniają przestrzeń bez tworzenia regularnego wzoru. Aby to zrobić, przetłumaczyli problem kafelkowania z geometrycznego na algebraiczny, zdefiniowany przez układ równań. Każde równanie obejmuje ograniczenia, które musi spełniać płytka – takie jak brak obrotów i przerw – co stanowi rodzaj „języka kafelkowania” – wyjaśnia współautorka pracy Rachel Greenfeld, matematyczka z Northwestern University.
Wraz ze zwiększaniem w tym języku liczby ograniczeń, potencjalna liczba możliwości się kurczy, podobnie jak maleje zakres liczb lokowanych w diagramie sudoku w trakcie rozwiązywania. Ostateczny wynik, specyficzny ciąg liczb, można następnie z powrotem „przetłumaczyć” na aperiodyczną płytkę, obalając hipotezę. „Kafelkowanie nie jest więc tak proste, aby dawało zawsze regularne układy, ale nie jest też tak skomplikowane, aby zawsze powstawał chaos” – podsumowuje Greenfeld.
„Naukowcy znaleźli sposób wyrażenia kształtu w języku programowania” – komentuje Craig Kaplan, informatyk z University of Waterloo. A ponieważ wynik był następstwem dodawania coraz większej liczby ograniczeń, które przekładają się na dodatkowe wymiary, okazało się możliwe doprowadzenie do przestrzeni o ekstremalnej liczbie wymiarów – bliskiej 10100000 (100 000 cyfr).
„Przy wielu wymiarach kształt płytek jest niezwykle złożony, zatem analizowanie parkietaży 3-wymiarowych stanowi obecnie granicę badań i wydaje się, że jest to granica między porządkiem a całkowitym chaosem” – uważa nagrodzony Medalem Fieldsa matematyk z University of California w Los Angeles i współautor publikacji – Terence Tao.
Dziękujemy, że jesteś z nami. Pulsar dostarcza najciekawsze informacje naukowe i przybliża wyselekcjonowane badania naukowe. Jeśli korzystasz z publikowanych przez Pulsar materiałów, prosimy o powołanie się na nasz portal. Źródło: www.projektpulsar.pl.