Zabawa muszlami, czyli jak matematycy odkryli nowy kształt 3D

„Ile najmniej rogów może mieć figura płaska, której kopiami da się szczelnie pokryć płaszczyznę?” – zapytał mnie w pizzerii matematyk Gabor Domokos. To pozornie proste pytanie dotyczyło geometrii kafelkowania, zwanego również tesselacją lub parkietażem. Chodzi o układy figur określanych jako kafelki, płytki lub komórki, pokrywających powierzchnię bez przerw i na siebie niezachodzących. Ludzie interesują się parkietażami od starożytności, gdy odgrywały one ważną rolę w architekturze i sztuce. Naukowcy także od wieków interesowali się kafelkowaniem, ale nikt nie zastanawiał się nad minimalną liczbą wierzchołków figur tworzących parkietaż. Pierwszym okazał się Domokos, a poszukiwanie kafelków z najmniejszą liczbą narożników doprowadziło go i jego zespół do odkrycia nowego rodzaju kształtu.

Latem 2023 roku siedziałam z Domokosem w ogródku pizzerii Black Dog, kilka przecznic od Uniwersytetu Technologiczno-Ekonomicznego w Budapeszcie, gdzie Domokos jest profesorem. Mój sąsiad sięgnął po menu, obrócił je niezadrukowanym spodem do góry i wręczył mi długopis. Przyglądał się, jak rysowałam na menu trójkąty, a po chwili rzekł: „Możesz rysować krzywe”. Zaczęłam zapełniać stronę okręgami, które oczywiście nie mogą szczelnie wypełniać płaszczyzny, ale Domokos się ożywił, mówiąc: „O, to ciekawe, kontynuuj; możesz mieszać kształty, staraj się tylko, aby średnia liczba rogów była jak najmniejsza”.

Kontynuowałam. Obok kółek zaczęły się pojawiać coraz dziwniejsze kręte kształty. Domokos skończył pizzę, ale nie zamierzał odchodzić. Pobieżny rzut oka na mój naiwny rysunek nie wystarczał, aby określić średnią liczbę rogów, nie mówiąc o minimalnej możliwej. Było jednak oczywiste, że odpowiedź musiała być mniejsza niż trzy rogi trójkąta. W przeciwnym razie pytanie byłoby trywialne.

To, co powstało, wydawało się jednak zadowalać matematyka, który ujawnił, że odpowiedzią jest dwa i dodał: „To było łatwe, ale jak będzie w 3D, czyli w przypadku figury trójwymiarowej?”

Ponad rok po spotkaniu w pizzerii Domokos znał już odpowiedź. Jej szukanie było ekscytującym i frustrującym wyzwaniem, które ostatecznie doprowadziło Domokosa i trzy współpracujące z nim osoby do odkrycia „miękkich komórek”, kształtów o minimalnej liczbie rogów, które można ze sobą spasować tak, że wypełnią szczelnie płaszczyznę lub trójwymiarową przestrzeń. W dwóch wymiarach miękkie komórki mają dwa rogi połączone krzywymi. Natomiast w 3D te krągłe, niemal organiczne formy w ogóle nie mają rogów. Gdy badacze zidentyfikowali nowe kształty, zaczęli je dostrzegać w otoczeniu. Informacje o odkryciu zostały opublikowane w czasopiśmie „PNAS Nexus”.

Chociaż matematycy wcześniej nie wyodrębniali miękkich komórek – nikt ich nie zauważył ani tym bardziej nie nazwał w publikacji naukowej – są często spotykane w sztuce i w naturze, na przykład w architekturze Zahy Hadid zwanej „królową krzywizny” lub jako kształty pasów zebry. Krisztina Regős, studentka Domokosa, znalazła pierwszą naturalną, trójwymiarową miękką komórkę ukrytą w komorach muszli łodzika – obiekt ten stał się ikoną zbieżności matematyki i biologii. „Mieliśmy go cały czas przed oczami” – mówi Regős. Powiązanie komórek z tak znanym kształtem sprawiło, że Domokos zaczął się obawiać, że ktoś go ubiegnie. Polecił swojemu zespołowi zachować tajemnicę dopóty, dopóki tekst o ich odkryciu nie będzie gotowy do publikacji (ukazał się we wrześniu 2024 roku). Rok wcześniej, pod koniec wizyty w pizzerii, Domokos zabrał nawet menu z moimi rysunkami – złożył je i schował do kieszeni. Dla bezpieczeństwa.

„Istnienie miękkich komórek powinno być od dawna oczywiste” – uważa matematyk Joseph O’Rourke ze Smith College, ale dodaje, że „pytanie o ich obecność, a zwłaszcza wyobrażenie sobie kafelkowania przestrzeni bez wierzchołków, jest oryginalne, a nawet zaskakujące i sprytne”.

„Dzięki tym obiektom można sensownie opisać szeroki zakres zjawisk fizycznych – nie tylko szczelnie spakowane wielościany. Ma z tym związek choćby piana w szklance piwa” – zauważa matematyk Chaim Goodman-Strauss z University of Arkansas, ekspert w dziedzinie kafelkowania.

Kilka lat temu Domokos opracował narzędzie matematyczne do opisywania parkietaży na podstawie ich średnich właściwości, a nie kształtów poszczególnych komórek. Pomysł takiego narzędzia powstał w trakcie pracy nad naturalnymi mozaikami, którymi są na przykład spękane ściany skalne. Uśrednienie oddaje istotę tesselacji bez narzucania nienaturalnej sztywności.

Kiedy Domokos i Regős badali zasady rządzące średnimi właściwościami mozaik, doszli do wniosku, że nie jest możliwe, aby średnia liczba rogów kafelka była mniejsza niż dwa. Na tej podstawie ustalono, że monopłytka (taka, której kopiami można wypełnić płaszczyznę – tak jak kwadraty tworzą szachownicę, a sześciokąty foremne plaster miodu) nie może mieć mniej niż dwa rogi. Ta zasada nie była wcześniej znana.

Nie mogąc znaleźć żadnej wcześniejszej pracy na ten temat, Domokos i Regős zdali sobie sprawę z wagi swojego odkrycia. Nie potrafili jednak poradzić sobie z jego geometrycznymi zawiłościami, aby wyrazić je formalnie w postaci reguły matematycznej. Zaprosili więc do współpracy geometrę Akosa G. Horvatha z tego samego Uniwersytetu Technologiczno-Ekonomicznego w Budapeszcie.

Wkrótce Horvath opracował algorytm, który przekształcał wielokątne płaskie kafelki w mające tylko dwa wierzchołki. Dzięki temu zespół nadał dwuwierzchołkowe kształty zaokrąglonym „miękkim” kafelkom, wykorzystując foremne trójkąty, sześciokąty i prostokąty. Sześciokątne kafelki po modyfikacji mają dwa rogi rozciągnięte, a pozostałe są lekko zaokrąglonymi wypustkami. Przekształcenia kwadratów są bardziej zróżnicowane. Jeden jest tylko lekko zdeformowany, ale inne przypominają gonty, rybie łuski, ziarna soczewicy i płetwy wielorybów. Dwa rodzaje kafelków opartych na trójkątach przypominają wzgórze i żagiel.

W następnym etapie „zaczęliśmy fantazjować na temat wyglądu takich obiektów w 3D” – mówi Domokos.

Parkietaże 3D wyobrażano sobie przynajmniej od czasów Platona, którego koncepcja modelu wszechświata oparta była na tesselacji z pięciu wielościanów foremnych: czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu i dwudziestościanu. Platon uznał, że tesselacje z pierwszych czterech brył powinny tworzyć elementy ziemi, powietrza, wody i ognia, a dwunastościan był kształtem związanym z kosmosem. Platon mylił się w kwestii wykraczającej poza ezoteryczną kosmologię, bowiem z pięciu wymienionych wielościanów tylko kopiami sześcianu można wypełnić przestrzeń 3D bez luk i zachodzenia brył na siebie (chyba że sama przestrzeń jest zakrzywiona). Ale sześciany spłaszczone i rozciągnięte, czyli prostopadłościany (ściany tworzy sześć równoległoboków) również mogą wypełnić przestrzeń. W 1885 roku rosyjski krystalograf Jewgraf Fiodorow skatalogował zestaw pięciu równoległościanów – obiektów 3D, które można szczelnie spakować razem bez konieczności obracania któregokolwiek z nich. Są to: sześcian, graniastosłup sześciokątny prawidłowy, a także bardziej wyszukane – dwunastościan rombowy, wydłużony dwunastościan i ścięty ośmiościan.

Wszystkie te kształty są wielościanami o płaskich ścianach i prostych krawędziach. Jednak kształty 3D z krzywiznami także mogą wypełniać przestrzeń – chociaż mają rogi, a krzywizny są nieznaczne. Co znamienne, źródłem wszystkich znanych przykładów jest natura, a nie abstrakcyjna matematyka. W 1887 roku brytyjski matematyk William Thomson, znany również jako Lord Kelvin, sformułował zagadkę: przy jakim układzie komórek lub pęcherzyków o równej objętości powierzchnia styku między nimi jest minimalna? Innymi słowy, jaka jest struktura optymalnej piany?

Pierwszym rozwiązaniem Kelvina była tesselacja z lekko odkształconych ściętych ośmiościanów. W artykule z 1994 roku fizycy Denis Weaire i Robert Phelan z Trinity College Dublin opisali ulepszoną strukturę Kelvina, będącą tesselacją z dwóch różnych wielościanów. Zaś w roku 2018 zespół biofizyków kierowany przez Luisa M. Escudero z University of Seville i Javiera Bucety z Institute for Integrative Systems Biology w Hiszpanii odkrył nowy kształt zwany skutoidem, przypominający zniekształconą komórkę plastra miodu. Skutoidy są komórkami tkanki nabłonkowej, dzięki którym tkanka ta może się wyginać. Mimo to wówczas nie padło pytanie o minimalną liczbę narożników bryły, której kopiami można wypełnić przestrzeń. „Pytając o to, nie mieliśmy początkowo pojęcia ani nawet przeczucia, że coś osiągniemy” – mówi Domokos.

Kiedy w końcu wypełniający przestrzeń kształt 3D z zaledwie dwoma rogami został zidentyfikowany, Domokos uświadomił sobie, że znalazł odpowiedź. „To mnie zafascynowało – wspomina – więc napisałem artykuł, w którym dowodziłem, że minimalna liczba wierzchołków w trzech wymiarach wynosi dwa”. Dowód oparty był na prostym założeniu, które Domokos uważał za wręcz trywialne. Jednak z czasem zaczął zdawać sobie sprawę, że to założenie nie musi być takie oczywiste, a nawet może być błędne. „Chciał wysłać ten artykuł mnie i Akosowi na Boże Narodzenie, potem na sylwestra, a potem coraz później – mówi z uśmiechem Regős – aż wreszcie znalazł przykład z zerem rogów. I o to chodziło”. Dowodem na to, że w trzech wymiarach możliwa jest tesselacja przestrzeni za pomocą obiektów, które w ogóle nie mają narożników, okazał się sam przykładowy kształt.

Znalezienie pierwszej miękkiej komórki stanowiło odpowiedź na jedno pytanie i dało początek licznym kolejnym. Naukowcy zastanawiali się na przykład, czy mogą istnieć wypełniające przestrzeń kształty z dokładnie jednym narożnikiem. Domokos w końcu jeden znalazł. Kiedy naszkicował go na tablicy, Regős i Horvath byli „zniesmaczeni” – był brzydki, nieforemny, bez symetrii, wyglądał jak wymyślony przez kosmitę. Ale gdzieś w tej brzydocie Regős dostrzegła pewną możliwość. Jak wyjaśnia: „Po prostu pewnego dnia zrozumiałam, że wyginając krawędzie, możemy tworzyć miękkość”.

Intuicja podpowiadała Regős, że może stworzyć miękkie komórki, wyginając krawędzie normalnych, spiczastych wielościanów. W każdym wierzchołku, gdzie zbiegały się trzy krawędzie, zmieniała dwie krawędzie w krzywe biegnące równolegle do trzeciej krawędzi tam, gdzie wcześniej był wierzchołek. Zamknięta bryła w przestrzeni 3D musi obejmować 4π stopni krzywizny zwykle skoncentrowanej w wierzchołkach. Regős zamiast tego przenosiła tę krzywiznę na krawędzie. „Zajęło mi sporo dni, zanim zorientowałem się, że to, co ona robi, ma sens” – mówi Domokos.

Regős miała problem z opisaniem swojej metody wyginania krawędzi językiem matematycznym. Potem jednak zdała sobie sprawę, że opis można sprowadzić do łatwego do rozwiązania problemu 2D z teorii grafów. Każdy wielościan ma dualny wielościan – ściany jednego odpowiadają krawędziom drugiego i odwrotnie. Zespół wykazał, że jeśli możliwe jest znalezienie zamkniętej ścieżki wzdłuż krawędzi dualnego wielościanu, która odwiedza każdy z jego wierzchołków dokładnie raz (to tzw. cykl Hamiltona), to możliwe jest przekształcenie tej bryły w bezrogową miękką komórkę, której kopiami uda się wypełnić przestrzeń.

Mając ten warunek, Horvath mógł napisać matematyczny algorytm gięcia krawędzi w 3D. Mapowanie nieskończenie licznej kategorii wielościennych kafelków na miękkie kafelki udowodniło istnienie nieskończonej klasy miękkich komórek. Innymi słowy, dla każdego wielościanu z płaskimi wielokątnymi ścianami, którego kopiami można wypełnić przestrzeń, musi istnieć wypełniająca przestrzeń miękka komórka z krzywiznami.

Dla O’Rourke’a algorytm gięcia krawędzi jest najpiękniejszą i najbardziej znaczącą częścią pracy. Elegancja wynika z połączenia dwóch różnych działów matematyki. Cykle Hamiltona to kombinatoryka. „Nie mają, wbrew pozorom, nic wspólnego z geometrią – wyjaśnia O’Rourke. – Tutaj jednak tkwimy mocno w geometrii, a mimo to potrzebujemy tego kombinatorycznego warunku, co uważam za znamienne”.

Gdy matematycy zaczęli rozumieć specyfikę miękkich komórek 2D, zaczęli też zdawać sobie sprawę, że kształty te istnieją poza szkicami i notatkami. „Były wokół nas” – mówi Domokos. Zespół zaczął dostrzegać wszędzie płaskie mozaiki dwuwierzchołkowych płytek – od tkanki mięśniowej po paski na zebrze. Spacerując po Budapeszcie, Regős dostrzegła je nawet w krzywiźnie skrzyżowań metalowej kraty bezpieczeństwa.

W tym samym czasie trójka znajdowała coraz więcej miękkich komórek 3D – Regős uzupełniła listę czterema wersjami odkształconych równoległościanów oraz czworościanów. Jednak nie dostrzegali miękkich komórek 3D wokół siebie. Zmieniło się to wtedy, gdy rok po utworzeniu sześcianu o krzywoliniowych krawędziach Domokos przypomniał sobie, że widział go już gdzieś wcześniej – nie w naturze, ale w architekturze.

Dekadę wcześniej architekt Viki Sandor i grupa studentów University of Vienna zaprojektowali niezwykłe centrum widowiskowe – Cirque du Soleil. Budynek nigdy nie powstał, ale zafrapował nie tylko środowisko architektów. Jego podstawowy element konstrukcyjny bardzo przypominał kształtem miękką sześcienną komórkę Domokosa.

Sandor (obecnie pracownik Austrian Institute of Technology) wyjaśnia, że jego projekt stanowił ćwiczenie w ramach tematu „równowagi”. Budynek musiał być modułowy, więc został podzielony na bloki sześcienne, a każdy miała zaprojektować inna osoba. Tak się złożyło, że całość została zainspirowana samorównoważącą się bryłą zwaną gömbökiem, odkrytą w 2006 roku przez Domokosa i mechanika Petera Varkonyi. Sandor i jego zespół zwrócili uwagę na różnice grubości gömböka i szukali podobnego kształtu, który pasowałby do różnych modułów. Znaleźli odpowiedź w krzywiznach w kształcie litery C na piłce tenisowej. „Jeśli przetniemy ją wzdłuż linii w kształcie litery C, otrzymamy element cienki w jednym miejscu, a gruby w innym, co przypomina gömböka” – mówi Sandor. Cięcie zakrzywionych powierzchni tworzących rurki lub graniastosłupy okazało się dobrą metodą konstruowania miękkich komórek – nie tylko w teorii lub projektowaniu, ale także w naturze.

Odkrycie przez Regős pierwszej naturalnej, miękkiej komórki 3D było przypadkowe. Pewnego dnia przesłała Domokosowi e-mailem zdjęcie przekroju muszli łodzika. Odpowiedział, że to ładny przykład miękkich komórek 2D, na co Regős odpisała, że to są miękkie komórki 3D. Domokos dostrzegał rogi, więc uznał, że nie wyglądają na miękkie. Jednak Regős nie zmieniała zdania, więc Domokos kupił dwie muszle łodzika i pokazał je Regős i Horvathowi. Bawili się muszlami przez 30 min, zanim się poddali. Nie byli w stanie definitywnie rozstrzygnąć dylematu, a nawet gdyby im się udało, nie mogli wysłać do publikacji muszli jako załącznika.

Pomysł zostałby zarzucony, gdyby nie zestaw skanów mikrotomografii komputerowej opublikowany przez D’Arcy Thompson Zoology Museum na University of Dundee w Szkocji. Domokos znalazł skany w Internecie i spędził godziny, „błądząc we wnętrzu” muszli w poszukiwaniu rogów. Nie mógł ich znaleźć.

Nikt w zespole nie miał zielonego pojęcia o muszlach, ale Domokos znał osobę kompetentną. Był nią Alain Goriely, fizyk i matematyk z University of Oxford, który badał muszle komorowe. Domokos unikał rozmów o swoim projekcie z kimkolwiek poza swoją małą grupą – zwłaszcza teraz, gdy odkryli miękkie komórki wewnątrz muszli łodzika, co było intrygujące dla matematyków lubiących znajdywać przejawy swoich odkryć w naturze. Inni mogliby przejąć odkrycie i opublikować je pierwsi. Jednak Domokos znał Goriely’ego od wielu dekad, więc postanowił mu zaufać – zatelefonował do niego i wkrótce wraz z Regős znalazł się w samolocie lecącym do Anglii.

Goriely’ego zafascynowało odkrycie miękkich komórek w muszli łodzika. Uważał, że w naturze powstają takie kształty, ponieważ tworzenie ostrych narożników jest kosztowne. Komórki biologiczne są miękkie, a napięcie powierzchniowe naturalnie je zaokrągla, chyba że organizm wydatkuje energię na budowę sztywnych struktur, które mogą tworzyć spiczaste kształty. A poza tym komórki w żywym organizmie chcą skutecznie wypełniać przestrzeń, pozostawiając niewiele szczelin.

W ciągu trzech dni w Oksfordzie, a potem w kolejnych miesiącach Goriely i Węgrzy zidentyfikowali wiele nowych przykładów miękkich komórek w naturze i sztuce. Paski zebry, estuaria rzek, przekroje cebuli, muszle, kłosy pszenicy, czerwone krwinki, rośliny i grzyby – wszędzie tam pojawiały się miękkie komórki 2D. Natomiast w architekturze miękkie komórki 2D nadają futurystyczne, organiczne formy wielu budynkom zaprojektowanym przez Zahę Hadid. Występują również na tatami i ubraniach na szkicach japońskiego malarza Hokusai Katsushiki (twórca słynnego drzeworytu z 1831 roku „Wielka fala w Kanagawie”), a także na obrazach Victora Vasarely’ego, prekursora op-artu.

Goriely wskazał również na nowy przykład miękkich komórek 3D – w komorach muszli amonitów. Następnie Regős opracowała model geometryczny, dający kształty podobne do tych z muszli. Miękkie komórki, takie jak w muszli łodzika, można łatwo uzyskać, przecinając graniastosłup z zakrzywionymi powierzchniami – przypomina to sposób stosowany przez Sandora przy projektowaniu budynku Cirque du Soleil. „Ciekawe, że architekci intuicyjnie doszli do tego sposobu i dzięki podobnym wymaganiom: chcieli zmiękczyć strukturę” – twierdzi Goriely.

Goodman-Strauss zwraca uwagę na ustanowione w publikacji niezbędne do eksploracji miękkich kształtów „użyteczne słownictwo”, które umożliwia stawianie nowych pytań matematycznych. Na przykład: Jakie są kategorie miękkich monopłytek? Jakie grupy miękkich komórek mogą, a jakie nie mogą kafelkować przestrzeni? Domokos zastanawia się nad powiązaniem miękkości z aperiodycznością, czyli zdolnością do kafelkowania płaszczyzny bez tworzenia powtarzającego się wzoru. Odkrycie pierwszych aperiodycznych monopłytek (których kopiami można wypełnić płaszczyznę bez powtarzania wzoru) było medialnym wydarzeniem w 2023 roku. Domokos i Regős byli ciekawi, co by się stało, gdyby zastosowali swój algorytm zmiękczania krawędzi do aperiodycznego kafelkowania „widmowego”, czyli z możliwością odbić lustrzanych monopłytek. Ku ich zaskoczeniu okazało się, że takie kafelkowanie nie było możliwe.

Jednak Craig S. Kaplan z University of Waterloo w Ontario i Goodman-Strauss, którzy przyczynili się do odkrycia pierwszych aperiodycznych monopłytek, nie byli zaskoczeni. „Matematycy dopiero zaczynają badać aperiodyczne monopłytki i na razie wiele pytań pozostaje bez odpowiedzi” – mówi Kaplan.

Pomimo wrażenia wszechobecności miękkich komórek w przyrodzie związek między matematyką tych kształtów a biologią ogranicza się na razie tylko do obserwacji. Domokos przyznaje, że to słaba strona pracy i chciałby ustalić, dlaczego są one tak powszechne w naturze. Uważa jednak, że „znaczna część artykułu dotyczy podobnego wyglądu, a to i tak jest bardzo niezwykłe”. Zdaniem Kaplana „dalsze badanie tego związku wydaje się obiecujące; podoba mi się motywacja: proste stwierdzenie, że natura nie lubi ostrości skłania do badań tej cechy z perspektywy matematyki. To otwarcie obiecujące możliwość rozwinięcia bogatej teorii”. Zaś „koncepcja miękkich komórek może okazać się przydatna dla biologów w przyszłości, na przykład za 30 lat” – uważa Goodman-Strauss. Być może w końcu matematyka miękkich komórek uchwyci coś prawdziwego na temat miękkiej materii – materiałów podatnych na odkształcenia, z których składa się większość naszego świata, od krwi w naszych żyłach po wyświetlacz ciekłokrystaliczny, na którym może właśnie czytacie ten tekst.

Pytania dotyczące miękkiej geometrii są szczególnie trudne do zbadania, ponieważ mają tendencję do wykraczania poza granice działów nauki. Domokos kilka miesięcy szukał czasopisma, które opublikowałoby „niezwykły” manuskrypt z pogranicza matematyki, sztuki i biologii. To nie dziwi Goodmana-Straussa. Zapytany, gdzie jego zdaniem jest w naukowym krajobrazie miejsce dla miękkich komórek, odpowiada bez wahania: „Sądzę, że w przyszłości”.