Od czesania kokosa droga do czystej energii

Na początek informacja, która może zaskakiwać: nie sposób zaczesać płasko okrywy włosowej na kokosie bez „zakłóceń” w postaci przerw (łysina, przedziałek) lub sterczącej kępki – podobnej do zdobiącej fryzurę Alfalfy, jednego z bohaterów filmu Klan urwisów. Zaskakuje także osobliwa nazwa: „twierdzenie o włochatej kuli” (lub „o czesaniu kuli”), choć twierdzenie to jest jednym z kluczowych w dziale matematyki zwanym topologią. Wiąże się z meteorologią, transmisją radiową i energetyką jądrową. Matematycy oczywiście nie zajmują się kokosem ani fryzurą, analizując problem. Kokos zastępuje kula, a włosy są wektorami. Wektor, zwykle przedstawiany jako strzałka, ma długość, kierunek i zwrot. Odpowiednikiem włosów zaczesanych płasko po bokach kokosa jest układ wektorów stycznych – takich, które dotykają kuli dokładnie w jednym punkcie swojej długości. Ponadto używamy gładkiego grzebienia, więc wykluczamy oddzielanie się grup włosów. Innymi słowy, układ wektorów na kuli musi być ciągły, co oznacza, że sąsiednie włosy powinny zmieniać kierunek stopniowo, a nie gwałtownie.

Uwzględniające te warunki twierdzenie głosi, że niezależnie od sposobu przypisania wektorów wszystkim punktom na sferze, na pewno pojawi się jakieś zakłócenie: nieciągłość (przedziałek), wektor o zerowej długości (łysina) lub wektor niestyczny do sfery (jak u Alfalfy). W terminologii matematycznej: ciągłe niezerowe styczne pole wektorowe na sferze nie może istnieć.

Twierdzenie dotyczy różnego rodzaju „kudłatych” figur. Matematycy zajmujący się topologią badają obiekty geometryczne, ale traktują je tak, jakby były wykonane z nieskończenie elastycznej gumy. Gumowym obiektom można nadawać różne kształty, ale bez rozrywania, sklejania i przenikania. Jeśli, uwzględniając te zakazy, jeden kształt można płynnie przekształcić w inny, to kształty te są w topologii tożsame. Oznacza to, że twierdzenie o włochatej kuli dotyczy także włochatych kostek, pluszaków czy nawet włochatych kijów baseballowych, bo wszystkie te obiekty są topologicznymi odpowiednikami kuli (wszystkie można uformować z plastelinowej kuli, nie łamiąc gumowej reguły).

Nie jest równoważna kuli głowa, a ściślej jej część z włosami. Skalp można rozpłaszczyć, a włosy na nim uczesać w jednym kierunku, jak włókna dywanu z długim włosiem. Więc, niestety, matematyków nie interesują włosy zaczesane do tyłu. Obwarzanek (torus) to także nie kula, więc włochaty obwarzanek (mało apetyczny) uda się gładko przeczesać.

Z twierdzenia o włochatej kuli wynika, że na Ziemi jest zawsze przynajmniej jeden punkt, w którym wiatr nie wieje poziomo. Wiatr przemieszcza się ciągle wokół planety, a jego kierunek i wielkość w każdym miejscu na powierzchni można modelować za pomocą wektorów stycznych do globu (wielkości wektorów nie muszą odpowiadać długościom fizycznym – takim, jak np. długość włosów). Jest to zgodne z założeniami twierdzenia, które oznacza, że podmuchy muszą gdzieś zanikać, tworząc „kępkę”. Kępką może być oko cyklonu lub wiru, co zdarza się, gdy wiatr wieje bezpośrednio w górę. Programista Cameron Beccario stworzył eleganckie narzędzie online (earth.nullschool.net), które pokazuje aktualne prądy powietrza na Ziemi i wyraźnie przedstawia wirujące kępki.

Specyficzną ilustracją twierdzenia może być wirująca piłka. Na jej powierzchni zawsze będzie punkt o zerowej prędkości. Aby to wyjaśnić, przypiszemy każdemu punktowi na piłce styczny do niego wektor kierunku i prędkości. Wirowanie jest ruchem ciągłym, a więc całość jest zgodna z twierdzeniem o włochatej kuli, a równocześnie wskazuje na punkt, który będzie nieruchomy. Piłka obraca się wokół niewidzialnej osi, a punkty na obu końcach tej osi się nie poruszają. Co się stanie, jeśli wywiercimy maleńkie otwory w piłce dokładnie w miejscach, gdzie przebija ją oś – aby usunąć nieruchome punkty? Wtedy poruszałby się każdy punkt. Czy ten przykład obala twierdzenie o włochatej piłce? Nie, ponieważ wywiercenie otworów przekształca piłkę w obwarzanek, czyli torus, a wtedy warunki twierdzenia przestają obowiązywać.

Odchodząc od aspektów zabawowych, twierdzenie o włochatej piłce wiąże się także z ograniczeniami w inżynierii radiowej. Anteny nadawcze mogą emitować fale radiowe w różnych kierunkach, w zależności od tego, jak je zaprojektowano. Niektóre wysyłają sygnał tylko w ściśle określonym kierunku, inne szerzej. A gdyby tak uprościć sprawę i konstruować wyłącznie anteny wysyłające równie silny sygnał we wszystkich kierunkach jednocześnie, czyli tzw. izotropowe? Jest tylko jeden problem: pewna „włochata” cecha topologiczna powoduje, że anteny izotropowe nie istnieją. Wyobraźmy sobie kulę fal wychodzących ze źródła. Dostatecznie daleko od tego źródła fale radiowe wytwarzają pole elektryczne prostopadłe do kierunku ich przemieszczania się, co oznacza, że pole jest styczne do kuli fal. Z twierdzenia o włochatej kuli wynika, że natężenie tego pola musi gdzieś spaść do zera, a to oznacza zaburzenie sygnału z anteny. Antena izotropowa służy jedynie jako teoretyczny ideał, z którym porównuje się wydajność rzeczywistych anten. Co ciekawe, źródło dźwięku wysyła inny rodzaj fal – bez „prostopadłości” właściwej falom elektryomagnetycznym, więc istnieją głośniki emitujące równie intensywny dźwięk w każdym kierunku.

Zapewne najbardziej spektakularny jest związek twierdzenia o włochatej kuli z syntezą termojądrową, która niesie szansę pokonania w przyszłości kryzysu energetycznego. Umożliwia generowanie ogromnej energii bez obawy o klimat zagrożony wykorzystaniem paliw kopalnych i bez problemów związanych z radioaktywnością, które występują w przypadku tradycyjnych reaktorów. W skrócie: reaktor syntezy jądrowej pobiera paliwo (wodór), które poddaje gigantycznej temperaturze i ciśnieniu, co powoduje powstanie plazmy. Plazma jest chmurą elektronów i innych naładowanych cząstek, które co pewien czas łączą się, tworząc nowe cząstki i uwalniając w tym procesie energię.

Podstawowa trudność w budowie reaktorów syntezy termojądrowej sprowadza się do pytania: jak utrzymać plazmę, która jest 10 razy gorętsza niż jądro Słońca? Żaden materiał nie jest w stanie wytrzymać takiej temperatury. Dlatego naukowcy opracowali sprytne rozwiązanie: wykorzystują właściwości magnetyczne plazmy, aby zamknąć ją w silnym polu magnetycznym. Typowe pojemniki, z jakimi się spotykamy na co dzień (pudła, słoiki, kanistry), są topologicznie równoważne kulom, a pole magnetyczne wokół takich struktur jest ciągłym stycznym polem wektorowym – z omawianego twierdzenia wiemy, jak zachowują się takie „włochate” konstrukcje.

Zanik pola magnetycznego oznacza wyciek z pojemnika, co byłoby katastrofą – zniszczeniem reaktora. W reaktorze fuzyjnym problem ten omija się przez zastosowanie komory w kształcie torusa, zwanej tokamakiem. Międzynarodowy Eksperymentalny Reaktor Termojądrowy (ITER) budowany we Francji ma zostać ukończony w 2025 roku; osoby zaangażowane w projekt twierdzą, że ten system magnetycznego „uwięzienia” będzie „największym i najbardziej zintegrowanym nadprzewodzącym systemem magnetycznym, jaki kiedykolwiek zbudowano”. I tak topologia wiąże się z zapewnieniem nam w przyszłości czystej energii.